اویلر و مسئله پل های کونیگسبرگ
اویلر و مسئله پل های کونیگسبرگ
در قرن هجدهم در شهر بزرگ "کونیگسبرگ" واقع در پروس شرقی رودخانه "پره گل" جاری بود و مناطق مختلف آن را هفت پل به هم مربوط می ساخت. این شهر به عنوان زادگاه ایمانوئل کانت فیلسوف مشهور آلمانی از شهرت بسزایی برخوردار بود. ولی ریاضیدانان، کنیگسبرگ را به این دلیل می شناختند که طرح این شهر، اساس معمای پیچیده ای قرار گرفته بود که حتی در زمان کانت مشهور ترین ریاضیدانان از حل آن طفره می رفتند.
موضوع از این قرار بود که آیا امکان دارد هر شهروند کنیگسبرگ که روز یکشنبه به گردش می پردازد در مسیر خودش از هنگامی که از خانه اش خارج می شود تا زمانی که دوباره به منزلش بر می گردد یک بار و فقط یک بار از کلیه پل های شهر عبور کند؟
ریاضیدان سوئیسی، لئونارد اویلر 1707-1783 که در "باشل" زاده شده بود مساله را مورد بررسی قرار داد و سرانجام به آن جواب منفی داد!. تحقیق او شامل معماهایی از این نوع بود ولی بعدا همین تحقیق موجب شد که شاخه جدیدی در ریاضیات به نام تئوری گراف ها به وجود آید. قاعده کلی او برای تعیین جواب این مسئله و مسائل مشابه از این قرار است:
اولر ابتدا نقشه شهر را با نقشه‌ای که فقط خشکی‌ها، رود و پل‌ها را نشان می‌داد، جایگزین کرد. سپس هر خشکی را با یک نقطه نشان داد که رأس نامیده می‌شود و هر پل را نیز با یک خط نشان داد که یال نامیده می‌شود. این ساختار ریاضی را گراف می‌نامند. برای این کار ابتدا تعداد پل هایی که کناره های دو طرف رودخانه را به هم وصل می کند می شماریم. اگر مجموع تعداد پل های سواحل، زوج یا فقط تعداد پل های دو ساحل فرد باشد جواب وجود دارد یعنی می توان مسیری را انتخاب کرد که در آن مسیر تمام پل ها فقط یک بار طی می شوند. اویلر ثابت کرد برای آنکه مسیری وجود داشته باشد که از یک رأس شروع شود و از تمامی یال‌ها یکبار بگذرد و به همان رأس بازگردد، باید گراف هم‌بند بوده و هر یک از رأس‌های آن نیز از درجه زوج باشد. چنین مسیری، دور اویلری و چنین گرافی، گراف اویلری نامیده می‌شود.
برای آنکه از یک رأس بگذریم، باید از یک یال به آن رأس وارد شویم و چون باید از هر یال یکبار عبور کنیم، باید از یال دیگری که از آن عبور نشده‌است از آن رأس خارج شویم. پس همواره رئوسی که از آنها عبور می‌کنیم از درجه زوج هستند زیرا در هر گذر درجه آن رأس به اضافه دو می‌شود. حال اگر نقطه شروع و پایان یکی باشد، تمام رئوس از درجه زوج خواهند بود و دور اویلری طی کرده‌ایم. اگر نقطه شروع و پایان یکی نباشد، فقط این دو رأس از درجه فرد و بقیه رئوس از درجه زوج خواهند بود. چنین مسیری را مسیر اویلری می‌نامند.
چون در مسئله هفت پل کونیگسبرگ چهار رأس از درجه فرد داریم پس نه دور اویلری و نه مسیر اویلری وجود دارد. اویلر ثابت نکرد که هم‌بند بودن و زوج بودن رئوس شرط کافی برای اویلری بودن گراف است. در سال ۱۸۷۳ تکمیل این اثبات منتشر شد. این تکمیل توسط کارل هیرهولتزر انجام شد که قبل از انتشار اثبات مرده بود و تنها دلیلی که اثبات منتشر شد این بود که او به همکارانش اثبات را گفته بود. نتیجه آن دو قضیه زیر بود:
- یک گراف دارای دور اویلری است اگر و تنها اگرهم‌بند بوده و رئوس آن از درجه زوج باشند.
- یک گراف دارای مسیر اویلری است (و نه دور اویلری) اگر و تنها اگر هم‌بند بوده و دقیقاٌ دو رأس از آن از درجه فرد باشند.
فعالیت های اویلر در زمینه گراف ها در سال 1736 ارائه شد. از آن زمان به بعد این موضوع نه فقط در ریاضیات بلکه به حوزه های دیگر علمی نیز گسترش یافت و کاربردهای مفید فراوانی پیدا کرد. در قرن 19 گراف ها در مدارهای الکتریکی و در تئوری نمودارهای مولوکولی مورد استفاده قرار گرفت. امروزه تئوری گراف ها صرف نظر از اینکه روشی برای تجزیه و تحلیل در ریاضیات محض به شمار می رود برای حل مسائل عددی کاربردی نظیر مسائل مربوط به حمل و نقل یا برنامه ریزی نیز مورد استفاده قرار می گیرد.
اویلر یکی از پر کارتین و خلاق ترین ریاضیدانان تاریخ علم است. او پسر کشیشی کالوینیسیت بود. در سال 1727 از او در حالیکه بیشتر از 20 سال نداشت برای پیوستن به فرهنگستان علوم در سن پترسبورگ دعوت به عمل آمد. اولر دارای ذهنی فعال و جستجوگر بود و بر بیشتر دانش های زمان خودش احاطه داشت. او اگر چه دانشجوی فیزیک، نجوم و پزشکی بود ولی علاقه وافری به مسائل ریاضی داشت. تراوشات فکری او شگفت آور بود.
گفته اند که او همیشه می نوشت حتی در لحظه ای که برای آماده شدن غذا منتظر بود. او چنان شیفته علم بود که در مدت بازداشت یکی از فرزندانش نیز مشغول نوشتن بود. در حقیقت میز تحریر او همیشه پر از کارهایی بود که انتظار انتشار را می کشیدند. اولر در سال 1746 در فرهنگستان برلین تدریس می کرد ولی بعد به علت عدم استقبال از کارش به روسیه رفت و در آنجا با محیط فرهنگی مناسب تری رو به رو شد و توانست به دربار سلطنتی کاترین کبیر راه یابد. اگر چه سرانجام نابینا شد ولی تحقیقات ریاضی خود را به شدت دنبال کرد و و بعد از مدت کوتاهی در سال 1783 مرگ او را در ربود.
- مشخصات
- دانلود
نظرات خود را اینجا بنویسید
